MATHÉMATIQUES
Le département s’attend à ce que l’étudiant
participe régulièrement, et ce tout au long de ses
études, au séminaire des étudiants de deuxième
et troisième cycles de mathématiques.
M.SC. (MATHÉMATIQUES)
PROGRAMME :
Maîtrise avec mémoire : 18 crédits de cours
: au moins 12 du niveau des études supérieures et
au moins 12 de sigle MAT ou STT.
27 crédits pour recherche et mémoire.
Maîtrise sans mémoire : 24 crédits de cours
: au moins 15 du niveau des études supérieures et
au moins 15 de sigle MAT ou STT.
21 crédits pour stage.
CHOIX DE COURS :
Le choix de cours de l’étudiant doit être approuvé
par le Comité des études supérieures en mathématiques.
actuariat : Au moins 3 crédits de cours de niveau 6000
dans chacun des trois domaines suivants : actuariat, probabilités,
statistique.
mathématiques pures : Au moins 3 crédits de cours
de niveau 6000 dans chacun des trois domaines suivants : algèbre,
analyse, topologie et géométrie.
mathématiques appliquées : Au moins 3 crédits
de cours de niveau 6000 dans au moins trois des sept domaines
suivants : algèbre, analyse, analyse numérique,
optimisation, équations différentielles, probabilités, domaine d'application (hors département).
mathématiques industrielles : Maîtrise avec stage
industriel.
Au moins 3 crédits de cours dans chacun des quatre domaines
suivants : analyse numérique, optimisation, équations
différentielles, modélisation, probabilités
et statistique.
PH.D. (MATHÉMATIQUES)
PROGRAMME : 15 crédits de cours, tous du niveau des études
supérieures
75 crédits pour recherche et thèse
Examen général de synthèse
connaissance du français et de l’anglais
CHOIX DE COURS :
mathématiques pures : Exigences de la maîtrise en
mathématiques pures
Choix de cours approuvé par le CÉS en mathématiques
Au moins 12 crédits de cours de sigle MAT.
mathématiques appliquées : Exigences de la maîtrise
en mathématiques appliquées
Choix de cours approuvé par le CÉS en mathématiques
Au moins 12 crédits de cours de sigle MAT
ou, le cas échéant, 9 crédits de cours de sigle MAT et 3 crédits dans la discipline d’application.
mathématiques de l’ingénieur : Tous les cours
au choix
STATISTIQUE
M.SC. (STATISTIQUE)
PROGRAMME :
Maîtrise avec mémoire : 18 crédits de cours
STT, au moins 12 de niveau 6000,
27 crédits pour recherche et mémoire.
Maîtrise sans mémoire : 24 crédits de cours
STT, au moins 18 de niveau 6000,
21 crédits pour stage ou travaux dirigés.
CHOIX DE COURS : STT 6530, STT 6531 (Consultation statistique
1, 2) sont obligatoires pour tous. Choix de cours approuvé
par le CÉS en statistique.
PH.D.(STATISTIQUE)
PROGRAMME : 15 crédits de cours, tous du niveau des études
supérieures,
au moins 12 de sigle STT
75 crédits pour recherche et thèse
Examen général de synthèse
connaissance du français et de l’anglais
CHOIX DE COURS : 9 crédits de cours obligatoires si non
suivis à la maîtrise :
STT 6100, STT 6530, STT 6531, MAT 6717
6 crédits de cours de sigle STT.
Choix de cours approuvé par le CÉS en statistique.
PROGRAMMES DE DOCTORAT
options mathématiques pures, mathématiques appliquées ou statistique
EXAMEN GÉNÉRAL DE SYNTHÈSE
Épreuve écrite : Cette épreuve a lieu normalement avant la fin du deuxième trimestre de scolarité et au plus tard avant la fin du quatrième trimestre de scolarité. Elle est composée et corrigée par un comité nommé par le directeur. Deux séances par an, aux trimestres d'automne et d'hiver, auront lieu à une date fixée par la direction. Le jury de l'étudiant peut déclarer à l'unanimité des voix que l'étudiant a échoué à l'épreuve écrite ou demander à la majorité des voix un ajournement pour permettre une reprise de l'épreuve écrite et une seule à la prochaine séance.
Mathématiques pures : Épreuve écrite constituée de trois examens communs portant sur les connaissances dans trois des six domaines suivants : algèbre, analyse, topologie et géométrie, analyse numérique et optimisation, équations différentielles, probabilités. Au moins deux des trois domaines doivent être choisis parmi les domaines suivants : algèbre, analyse, topologie et géométrie.
Mathématiques appliquées : Épreuve écrite constituée de trois examens communs portant sur les connaissances dans trois des six domaines suivants: algèbre, analyse, topologie et géométrie, analyse numérique et optimisation, équations différentielles, probabilités. Sur approbation du Comité des études supérieures en mathématiques, l'étudiant peut substituer à un seul de ces examens écrits, un examen écrit dans sa discipline d'application. Dans ce cas, le jury de l'étudiant devra obligatoirement inclure un expert de la discipline d'application provenant d'un programme d'études supérieures autre que celui de son directeur de recherche. De plus, si aucun examen approprié n'existe dans ce programme, le jury sera responsable de la rédaction et de la correction de l'examen.
statistique : Épreuve écrite constituée
de deux examens communs portant sur les connaissances dans deux
des trois domaines suivants : statistique mathématique,
proba-bilités, statistique appliquée.
Épreuve orale : Cette épreuve porte sur le projet
de recherche et a lieu au plus tard avant la fin du sixième
trimestre de scolarité. Elle doit obligatoirement être
accompagnée d’un document écrit décrivant
la problématique du sujet et contenant une bibliographie
sérieuse. Après approbation du document par le jury,
le Directeur fixe la date de l’oral. Le jury se prononce
à la majorité des voix sur la réussite à
l’ensemble de l’épreuve écrite et de
l’épreuve orale.
MATIÈRE DES ÉPREUVES ÉCRITES DE L’EXAMEN
GÉNÉRAL DE SYNTHÈSE
ALGÈBRE
Théorie des groupes. Anneaux, modules et corps. Théorie
de Galois. Rudiments de la géométrie algébrique.
Théorie de la représentation.
Chapitres 1-5, 7-16 et 18 de D.S. Dummit et R.M. Foote (Abstract
Algebra) ou chapitres correspondants de N. Jacobson (Basic Algebra
1 and 2) ou S. Lang (Algebra).
ANALYSE
Analyse réelle : Dérivée, théorèmes
des fonctions inverses et des fonctions implicites.
Chapitre 9 de Rudin (Principles of Mathematical Analysis).
Mesure et intégration: mesure de Lebesgue, fonctions mesurables,
intégrale de Lebesgue théorème de Fatou,
théorème de Fubini, espaces de fonctions sommables.
Chapitres 5 et 7 de A. Kolmogorov et S. Fomin (Éléments
de la théorie des fonctions et de l'analyse fonctionnelle) ou Chapitres 1-3 de W. Rudin (Real and Complex Analysis) ou Fichier «mesure00.pdf» sur le site http://www.dms.umontreal.ca/~giroux/mesure.html
Analyse fonctionnelle : espaces métriques, topologiques,
normés, espaces de Banach et de Hilbert, fonctionnelles
linéaires, espace dual, topologie faible, théorème
de Hahn-Banach, théorème de Banach-Steinhaus, théorème
de l'application ouverte, théorème du graphe fermé,
spectre, opérateurs auto-adjoints, compacité, opérateurs
compacts.
Chapitres 2-4 de Kolmogorov et Fomin (Éléments de
la théorie des fonctions et de l'analyse fonctionnelle);
ou chapitres 1-3, 5, 6 de H. Brezis (Analyse fonctionnelle, théorie
et applications).
Analyse complexe : plan complexe, propriétés des
fonctions holomorphes, intégration sur un contour, théorème
de Cauchy, séries de puissance, séries de Laurent,
calcul des résidus, transformations conformes, produits
infinis, prolongements.
Chapitre 10, 14-16 de W. Rudin (Real and Complex Analysis) et
chapitres 1-5 de J.B. Conway (Functions of One Complex Variable).
Les étudiants pourront aussi consulter A. Kirillov et A.
Gvichiani (Théorèmes et problèmes d'analyse
fonctionnelle) pour des exercices.
ANALYSE NUMÉRIQUE ET OPTIMISATION
Analyse numérique élémentaire : résolution
d’une équation algébrique non linéaire,
systèmes algébriques non linéaires, interpolation
et approximation de fonctions, dérivation et intégration
numériques.
Chapitres 1-4 et 10 de Burden-Faires (Numerical Analysis).
Analyse numérique matricielle : méthodes directes,
sensibilité de systèmes linéaires, conditionnement
et effets des erreurs d’arrondi, factorisations A=LU et
A=LLT. Méthodes itératives, gradients conjugués.
Valeurs et vecteurs propres : méthodes des puissances de
Householder-Givens, méthode QR.
Chapitres 6, 7 et 9 de Burden-Faires (Numerical Analysis).
Méthodes numériques pour les équations différentielles
: problèmes de conditions initiales ou aux limites. Méthodes
d’Euler, Euler modifiée, Ruge-Kutta, multipas. Stabilité,
compatibilité, convergence et ordre de précision.
Chapitres 5 et 11 de Burden-Faires (Numerical Analysis).
Méthodes numériques pour les équations aux
dérivés partielles : stabilité, compatibilité,
convergence. Équations linéaires paraboliques (diffusion)
et elliptiques (Laplace, Poisson, etc. …); différences
finies, éléments finis. Équations linéaires
hyperboliques (ondes). Méthode de von Neumann-Fourier pour
l’analyse de la stabilité. Équations hyperboliques
de conservation (non linéaires).
Raviart et Thomas (Introduction à l’analyse numérique
des équations aux dérivées partielles) ou
Euvrard (Résolution numérique des équations
aux dérivées partielles).
Optimisation : Extrémums, multiplicateurs de Lagrange,
méthode de Newton, théorème de projection,
méthodes de relaxation, de gradient et de pénalisation.
Programmation linéaire.
Chapitres 1-10 de Ciarlet (Introduction à l’analyse
numérique matricielle et à l’optimisation).
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Équations différentielles ordinaires : édo du premier
ordre (méthodes de solution d'équations particulières,
théorème d'unicité et d'existence de solutions,
dépendance continue par rapport à la valeur initiale),
équations linéaires (bases des solutions,
wronskien, équations
non-homogènes), systèmes autonomes
(espace de phase, classification de points critiques,
stabilité, méthode de Lyapounov, cycles limites).
Chapitres 1-6 de Coddington (An Introduction to Ordinary
Differential Equations) , chapitres 1-4
de Arnold (Ordinary differential equations), sections
2.1-2.10 et 3.1-3.4 de Perko (Differential
Equations and Dynamical Systems).
Équations aux dérivées partielles: équation des
ondes (formules de d'Alembert, de Poisson et de Kirchhoff),
équation de la chaleur (solution fondamentale, principe du
maximum), équations de Laplace et de Poisson
(solutions fondamentales, fonctions harmoniques), théorie
des distributions (dérivée faible, convolution,
transformée de Fourier), problèmes aux
limites (séparation des variables, problèmes de
Dirichlet et de Neumann, principes variationnels pour des valeurs
propres).
Chapitre 2 de Evans (Partial Differential Equations),
chapitres 2,3,5 de Vladimirov
(Equations of Mathematical Physics), chapitres 1-12
de Strauss (Partial Differential
Equations: An Introduction).
PROBABILITÉS
Espaces probabilistes : Espérance mathématique,
indépendance, sommes de variables aléatoires indépendantes.
Fonctions caractéristiques. Convergence faible. Théorème
central limite. Lois des grands nombres. Espérance conditionnelle
par rapport à une tribu.
Martingales : Théorèmes de convergence des martingales,
martingales dans L2 . Chaînes de Markov à temps discret
et à temps continu. Théorème ergodique pour
les chaînes de Markov. Processus de Poisson. Processus de
naissance et de mort. Mouvement brownien.
Chapitres 2-4 de S. Karlin et H.M. Taylor (A First Course in Stochastic
Processes), chapitre 13 de Foata et Fuchs (Processus stochastiques)
et chapitres 1-12 et 16-18 de D. Williams (Probability with Martingales),
ou sections 1-8, 20-23, 25-27, 33-35 de P. Billingsley (Probability
and Measure).
STATISTIQUE APPLIQUÉE
Régression, analyse multivariée, analyse de la variance,
plans d’expériences.
Chapitres 1-12 de S. Weisberg (Applied Linear Regression, 2e éd.,
1985), chapitres 1-8, 13, 17 de D.C. Montgomery (Design and Analysis
of Experiments, 5e éd., 2000), chapitres 1-11 de P.A. Johnson
et D.W. Wichern (Applied Multivariate Statistical Analysis, 5e
éd., 2002).
STATISTIQUE MATHÉMATIQUE
Chapitres 1-10 de G. Casella et R.L. Berger (Statistical Inference,
2e éd., 2002), sections 1-10, 13, 14, 18-20, 22 de T.S.
Ferguson (A Course in Large Sample Theory, 1996).
TOPOLOGIE ET GÉOMÉTRIE
Topologie générale: espaces topologiques, fonctions
continues, connexité, compacité, axiomes de séparation,
espaces normaux, théorème de Tietze, théorème
de Tychonoff, espaces métriques complets, théorème
de point fixe de Banach, théorème de catégorie
de Baire, théorème d’Ascoli, topologie compacte-ouverte.
Chapitres 2-5 et 7-8 de J.R. Munkres (Topology : A First Course).
Topologie algébrique : groupe fondamental, théorème
de Van Kampen, type d’homotopie d’un espace, revêtements,
théorème de point fixe de Brouwer, homologie, théorème
de Mayer-Vietoris.
Chapitres 6, 10-14 de W. Fulton (Algebraic Topology : A First
Course).
Géométrie : variétés, surfaces dans
R3, hypersurfaces dans Rn, formes et tenseurs, connexions, formule
de Gauss-Bonet.
Chapitres 1, 2 et section 3A. de S. Gallot, D. Hullin, J. Lafontaine (Riemannian Geometry, Springer 2004). Autre référence utile : Chapitres 0, 1, 2, 3 de M. P. doCarmo (Riemannian Geometry, Birkhauser, 1992).
