Faire l'estimation d'une copule de valeurs extrêmes bivariée revient à estimer A, sa fonction de Pickands qui lui est associée. Cette fonction A:[0,1] \( \rightarrow \) [0,1] doit satisfaire certaines contraintes : $$\max\{1-t, t \} \leq A(t) \leq 1, \hspace{3mm} t\in[0,1]$$ $$\text{A est convexe.}$$ Plusieurs estimateurs ont été proposés pour estimer cette fonction A, mais peu respectent ses contraintes imposées. La contribution principale de ce mémoire est d'introduire une technique simple de correction d'estimateurs de la fonction de Pickands de sorte à ce que les estimateurs corrigés respectent les contraintes exigées. La correction proposée utilise une nouvelle propriété du vecteur aléatoire bivarié à valeurs extrêmes, combinée avec l'enveloppe convexe de l'estimateur obtenu pour garantir le respect des contraintes de la fonction A. La seconde contribution de ce mémoire est de présenter un estimateur bayésien non paramétrique de la fonction de Pickands basé sur la forme introduite par Capéraà et al. (1997). L'estimateur utilise les processus de Dirichlet pour estimer la fonction de répartition d'une transformation du vecteur aléatoire bivarié à valeurs extrêmes. Des analyses par simulations sont produites sur un ensemble d'estimateurs pour mesurer la performance de la correction et de l'estimateur bayésien proposés, sur un ensemble de 18 distributions de valeurs extrêmes bivariées. La correction améliore l'erreur quadratique moyenne sur l'ensemble des niveaux. L'estimateur bayésien proposé obtient l'erreur quadratique moyenne minimale pour les estimateurs considérés.

Le sujet de notre mémoire est l'intersection entre deux domaines : La théorie des valeurs extrêmes (TVE) et les copules. L'objet de la TVE est de trouver la loi limite du maximum d'un échantillon. Grâce aux résultats de la TVE, on peut modéliser les phénomènes extrêmes. Par aillleurs, il existe une variante bivariée de la TVE. La variante bivariée de la TVE utilise une famille de copules appelées copules de valeurs extrêmes pour tenir compte de la liaison entre les deux phénomènes extrêmes. En dimension 2, toute copule de valeurs extrêmes dépend d'une fonction de Pickands. L'objet de notre mémoire est d'estimer la fonction de Pickands à partir de données. Nous avons trouvé un moyen de construire une fonction de Pickands grâce à des splines cubiques. À partir de cette construction, on obtient une famille élargie de fonctions de Pickands dans laquelle nous effectuons notre inférence statistique. Nous avons choisit l'approche bayésienne pour construire l'estimateur et les méthodes de MCMC pour les évaluations numériques. La méthode a été appliquée sur des données simulées et réelles.

Les méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov (MCMC) utilisent généralement des chaînes de Markov réversibles. Jusqu’à récemment, une grande partie de la recherche théorique sur les chaînes de Markov concernait ce type de chaînes, notamment les théorèmes de Peskun (1973) et de Tierney (1998) qui permettent d’ordonner les variances asymptotiques de deux estimateurs issus de chaînes réversibles différentes. Dans ce mémoire nous analysons des algorithmes simulants des chaînes qui ne respectent pas cette condition. Nous parlons alors de chaînes non réversibles. Expérimentalement, ces chaînes produisent souvent des estimateurs avec une variance asymptotique plus faible et/ou une convergence plus rapide. Nous présentons deux algorithmes, soit l’algorithme de marche aléatoire guidée (GRW) par Gustafson (1998) et l’algorithme de discrete bouncy particle sampler (DBPS) par Sherlock et Thiery (2017). Pour ces deux algorithmes, nous comparons expérimentalement la variance asymptotique d’un estimateur avec la variance asymptotique en utilisant l’algorithme de Metropolis-Hastings. Récemment, un cadre théorique a été introduit par Andrieu et Livingstone (2019) pour ordonner les variances asymptotiques d’une certaine classe de chaînes non réversibles. Nous présentons leur analyse de GRW. De plus, nous montrons que le DBPS est inclus dans ce cadre théorique. Nous démontrons que la variance asymptotique d’un estimateur peut théoriquement diminuer en ajoutant des propositions à cet algorithme. Finalement, nous proposons deux modifications au DBPS. Tout au long du mémoire, nous serons intéressés par des chaînes issues de propositions déterministes. Nous montrons comment construire l’algorithme du delayed rejection avec des fonctions déterministes et son équivalent dans le cadre de Andrieu et Livingstone (2019).

Dans cette thèse, nous nous intéressons principalement à l’estimation de paramètres. Elle est constituée de trois articles dans lesquels nous abordons des problèmes d’estimation dans des modèles précis. Dans le premier article, nous considérons la famille paramétrique de copules de Farlie-Gumbel-Morgenstern. Les observations proviennent d’une loi qui fait intervenir à la fois la copule et les marges, au travers de la décomposition du théorème de Sklar. Les marges sont inconnues. Dans le cadre de l’estimation d’une fonction du paramètre de la copule, la pseudo-vraisemblance est souvent utilisée en lieu et place de la vraisemblance. C’est une approche qui va généralement produire des estimateurs non efficaces (variance non-minimale), spécialement pour de petites tailles d’échantillons. Dans la pseudo-vraisemblance, les marges sont remplacées par des estimateurs qui dépendent des rangs. Nous proposons d’utiliser la vraisemblance des rangs, qui est la vraisemblance basée sur la distribution de la statistique des rangs. Cette approche peut être complexe en pratique car on doit travailler sur le groupe des permutations et on doit calculer des intégrales multiples. Néanmoins, il est possible d’effectuer les calculs pour la famille de copules de Farlie-Gumbel-Morgenstern. Nous comparons les estimateurs obtenus de ces approches à l’aide de la méthode bayésienne. Les résultats des études numériques sont présentés. Certains estimateurs rencontrés dans la littérature sont des rapports de variables aléatoires de lois normales. Dans le second article, nous nous intéressons à la distribution du rapport de deux variables aléatoires de lois normales. Plusieurs auteurs ont abordé ce sujet. La nouvelle paramétrisation que nous introduisons nous permet d’arriver assez facilement à de nouveaux résultats. Tout d’abord, nous montrons que l’expression de la densité du rapport s’écrit comme un mélange de densités appartenant à une nouvelle famille que nous créons. Nous proposons quelques propriétés et nous donnons l’expression analytique de la fonction caractéristique pour la nouvelle famille. Cette nouvelle famille est en fait une généralisation de la famille des densités des lois de Student de degrés de liberté impairs. Nous arrivons à des résultats de convergence similaires à la convergence observée des lois de Student lorsque le degré de liberté tend vers l’infini. Des résultats semblables de convergence ainsi que quelques propriétés sont développées pour la loi du rapport. Nous utilisons une approche bayésienne pour estimer le rapport de deux moyennes de variables aléatoires de lois normales. Des illustrations graphiques et des résultats des simulations sont présentés. Dans le troisième sujet, nous étendons la famille de distributions issue de la différence de deux variables aléatoires indépendantes de loi gamma, en considérant le cas où ces variables aléatoires sont positivement corrélées. Les densités de cette famille sont trouvées. La forme complexe de ces densités rend fastidieuses les méthodes d’estimation basées sur la vraisemblance. La méthode d’estimation basée sur la fonction caractéristique est utilisée, et l’approche continue est comparée à l’approche discrète. Par ailleurs, nous aboutissons à deux algorithmes simples permettant de générer facilement des données de deux variables aléatoires positivement corrélées et identiquement distribuées de loi gamma. Le meilleur estimateur équivariant pour le paramètre d’échelle est obtenu dans le cas de l’indépendance.

L’objet du travail est d’étudier les prolongements de sous-copules. Un cas important de l’utilisation de tels prolongements est l’estimation non paramétrique d’une copule par le lissage d’une sous-copule (la copule empirique). Lorsque l’estimateur obtenu est une copule, cet estimateur est un prolongement de la souscopule. La thèse présente au chapitre 2 la construction et la convergence uniforme d’un estimateur bona fide d’une copule ou d’une densité de copule. Cet estimateur est un prolongement de type copule empirique basé sur le lissage par le produit tensoriel de fonctions de répartition splines. Le chapitre 3 donne la caractérisation de l’ensemble des prolongements possibles d’une sous-copule. Ce sujet a été traité par le passé; mais les constructions proposées ne s’appliquent pas à la dépendance dans des espaces très généraux. Le chapitre 4 s’attèle à résoudre le problème suivant posé par [Carley, 2002]. Il s’agit de trouver la borne supérieure des prolongements en dimension 3 d’une sous-copule de domaine fini.

Ce mémoire porte sur la présentation des estimateurs de Bernstein qui sont des alternatives récentes aux différents estimateurs classiques de fonctions de répartition et de densité. Plus précisément, nous étudions leurs différentes propriétés et les comparons à celles de la fonction de répartition empirique et à celles de l'estimateur par la méthode du noyau. Nous déterminons une expression asymptotique des deux premiers moments de l'estimateur de Bernstein pour la fonction de répartition. Comme pour les estimateurs classiques, nous montrons que cet estimateur vérifie la propriété de Chung-Smirnov sous certaines conditions. Nous montrons ensuite que l'estimateur de Bernstein est meilleur que la fonction de répartition empirique en terme d'erreur quadratique moyenne. En s'intéressant au comportement asymptotique des estimateurs de Bernstein, pour un choix convenable du degré du polynôme, nous montrons que ces estimateurs sont asymptotiquement normaux. Des études numériques sur quelques distributions classiques nous permettent de confirmer que les estimateurs de Bernstein peuvent être préférables aux estimateurs classiques.

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Dans ce mémoire, nous travaillons sur une méthode de simulation de Monte-Carlo qui utilise des variables antithétiques pour estimer un intégrale de la fonction f(x) sur un intervalle (0,1] où f peut être une fonction monotone, non-monotone ou une autre fonction difficile à simuler. L'idée principale de la méthode qu'on propose est de subdiviser l'intervalle (0,1] en m sections dont chacune est subdivisée en l sous intervalles. Cette technique se fait en plusieurs étapes et à chaque fois qu'on passe à l'étape supérieure la variance diminue. C'est à dire que la variance obtenue à la kième étape est plus petite que celle trouvée à la (k-1)ième étape ce qui nous permet également de rendre plus petite l'erreur d’estimation car l'estimateur de l'intégrale de f(x) sur [0,1] est sans biais. L'objectif est de trouver m, le nombre optimal de sections, qui permet de trouver cette diminution de la variance.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.