Club mathématique
de l'Université de Montréal

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L’inégalité isopérimétrique à travers les âges

Parmi toutes les figures planes de même périmètre, quelle est celle dont l’aire est la plus grande? La légende veut que la princesse Elisha, ayant débarqué sur les côtes de l’actuelle Tunisie autour de 814 av. J.-C., ait obtenu autant de terre qu’elle pourrait en délimiter à l’aide de la peau d’un boeuf. Elisha découpa donc la peau en une fine lanière, la plus longue possible, et forma avec celle-ci un demi cercle s’appuyant sur la côte, rectiligne à cet endroit. Elle fonda ainsi la ville de Carthage, dont elle devint la première reine.
La princesse Elisha venait de trouver la solution du problme isopérimétrique classique: c’est le cercle qui a l’aire la plus grande parmi les figures planes de périmètre donné. L’influence du problème isopérimétrique sur le développement des mathématiques est immmense, mais malgré tous les efforts déployés, il a fallut attendre la fin du 19e siècle pour qu’une preuve satisfaisante émerge. Pourquoi? Après avoir tenté de répondre à cette question, nous survolerons certains des développements récents de l’isopérimétrie en analyse géométrique et en géométrie spectrale.

Par Alexandre Girouard, (Professeur, DMS, Université Laval)