Club mathématique
de l'Université de Montréal

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Réarrangements de sommes infinies de nombres (et autres manipulations défendues)

Les séries numériques (sommes de nombres en quantité infinie) conduisent parfois à des «paradoxes», en fait à des opérations algébriques mal définies. Les séries dites «convergentes» sont celles auxquelles on peut associer un nombre fini représentant leur «somme». Elles sont finalement assez rares.

Divers procédés existent pour associer des nombre finis à certaines séries non convergentes, nous en présenterons quelques exemples, parmi lesquels l'écriture étrange 1+2+4+8+16+32+... = -1 , et circonscrirons une classe d'opérations algébriques bien définies sur ces écritures.

Enfin, nous présenterons brièvement la démonstration du théorème de réarrangement de Riemann et nous étudierons en détail la série harmonique alternée (convergente) 1-1/2+1/3-1/4+... pour trouver explicitement des réarrangements de ses termes, de sorte que la nouvelle série obtenue converge vers un nombre donné à l'avance.

Par Loïc Teyssier, (Professeur, Université Strasbourg)

(Le diaporama de cette conférence est disponible ici. Pour plus d'information sur les séries divergentes, vous êtes invités à lire cet article de Loïc Teyssier.)