Club mathématique
de l'Université de Montréal

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Le modèle d’Heisenberg et sa résolution par l’ansatz de Bethe

Les différents modèles quantiques de chaînes de spins sont un bon exemple de systèmes exactement solubles. En particulier, le modèle d’Heisenberg se révèle parmi les plus simples de ceux-ci de par la simplicité des interactions. Malgré tout, plusieurs écueils se placent en travers de sa résolution, notamment la complexité qui surgit lorsque le nombre de spins impliqués croît.

Après une introduction aux outils nécessaires pour décrire le modèle d’Heisenberg, nous regarderons les propriétés de l’hamiltonien décrivant ce système. Puis j’introduirai l’ansatz de Bethe, une méthode pour trouver le spectre des valeurs propres de l’hamiltonien. Cet ansatz, avancé par Hans Bethe en 1931, s’est révélé au cours du 20ème siècle une méthode particulièrement efficace pour résoudre la chaîne de spins et d’autres systèmes plus complexes. Son influence s’est fait sentir dans de nombreux domaines, en faisant une des grandes réalisations de Hans Bethe.

Par Victor Drouin-Touchette, (Étudiant, Université de Montréal)