Club mathématique
de l'Université de Montréal

Accueil Journal Calendrier Archive

Espaces de Hilbert, sphères et hyperboloïdes

Dans l'espace euclidien usuel, Rn, les sphères ont des propriétés intéressantes, par exemple en ce qui concerne leurs géodésiques (chemins de longueur minimales).Ces propriétés sont-elles généralisables? Oui! Pour le voir, on va définir (en résumé), et utiliser les espaces munis d'un produit scalaire, les espaces métriques ainsi que les géodésiques. On verra alors la notion d'angle comme distance de la sphère, et les propriétés intéressantes qui y sont associées.

Ça sera la première partie. La deuxième partie concernera alors les hyperboloïdes. On peut dire que le cercle et l'hyperbole sont associés, c'est-à-dire que souvent, là où il y a une théorie sur l'un, il y en a une sur l'autre dans le même domaine. On peut penser aux fonctions hyperboliques, aux géométrie non-euclidiennes principales où aux complexes déployés. Est-ce le cas ici? On essaiera alors de définir les hyperboloïdes dans les espaces munis d'un produit scalaire, ainsi que l'angle et les géodésiques.

Cette présentation ne nécessite que les notions d'algèbre linéaire. Il devrait y avoir des preuves, mais uniquement celles qui aident à la compréhension.

Par Fabrice Nonez, (Étudiant, Université de Montréal)