Club mathématique
de l'Université de Montréal

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Ultrafiltres, les infiniment petits, les hypperréels et une nouvelle vision

Depuis l'avènement de l'analyse usuelle, l'étude des infinitésimaux a, pendant un certain temps, été reléguée aux oubliettes. Cependant, certains travaux du dernier demi-siècle ont permis d'ajouter une rigueur mathématique à ces objets déjà très intuitifs. On verra alors comment les "créer", à partir d'un outil très intéressant, les ultrafiltres. Ironiquement, ces objets ne peuvent être "construits", et pourtant ils sont si importants qu'on pourrait dire qu'ils sont magiques. On verra donc la théorie de l'analyse non-standard (où on y étudie les infinitésimaux), le principe du transfert et comment les ultrafiltres nous permettent de concrétiser cette théorie (même s'ils sont eux même abstrait). Si on a le temps, on verra également comment les ultrafiltres peuvent apparaître dans des problèmes qui ne sont pas du domaine de l'analyse.

Par Fabrice Nonez, (Étudiant à la maîtrise, DMS, Université de Montréal)