Club mathématique
de l'Université de Montréal

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Généralisation réflective de la méthode de Krall-Scheffer à la découverte de polynômes orthogonaux

La notion d'une famille de polynômes orthogonaux est similaire à celle de vecteurs orthogonaux dans un espace vectoriel. Toutefois, il s'avère difficile de définir un produit scalaire qui permet de trouver une base complète de polynômes orthogonaux. Présentement, plusieurs chercheurs s'intéressent à cartographier l'ensemble de tous les polynômes orthogonaux: Krall et Scheffer (1967) trouvèrent une façon efficace de s'attaquer au problème. La méthode consiste simplement à considérer une équation différentielle générale et à en restreindre les paramètres en imposant des solutions polynomiales et orthogonales. Ceci avait permis à Krall et Scheffer de construire 9 types d'opérateurs différentiels, qui correspondent tous à des systèmes physiques quantiques superintégrables. Mon stage consiste à reproduire ce que Krall-Scheffer ont accomplis, mais en considérant une équation différentielle plus large, qui contient des réflexions. Bien qu'à préavis les polynômes orthogonaux n'ont rien à voir avec des réflexions, je vais tenter de vous montrer comment les uns s'imbriquent avec les autres pour former une mathématique intéressante.

Par Michael Laplante, stagiaire d'été