Analyse mathématique

L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et  intégral. Ce cours comprend quatre parties.

La première porte sur le calcul différentiel des fonctions réelles d'une variable réelle. On y présente d'abord quatorze axiomes résumant toutes les propriétés des nombres réels que l'on prend pour acquises. À partir de là, on retrouve tout le calcul différentiel, en commençant par la notion de limite d'une suite ou d'une série numérique et son application à la représentation décimale des nombres, en poursuivant avec la notion de fonction continue et l'étude de ses principales propriétés et en terminant par la définition et les propriétés des fonctions dérivables, illustrées par le cas des fonctions convexes.

La deuxième porte sur le calcul intégral. On y présente d'abord la définition et les propriétés de l'intégrale d'une fonction réelle continue d'une variable réelle. On utilise ensuite cet outil pour introduire les fonctions élémentaires usuelles de l'analyse, à savoir le logarithme, l'exponentielle, les fonctions trigonométriques directes et inverses et la fonction gamma. On y étudie enfin la représentation de ces fonctions par des séries de Taylor et des séries de Fourier.

La troisième porte sur le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables. On y présente d'abord les propriétés algébriques, géométriques et topologiques de l'espace euclidien à n dimensions. À partir de là, on développe le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables réelles, à valeurs réelles ou à valeurs dans un autre espace euclidien. En particulier, le théorème des fonctions inverses est présenté et appliqué, via le théorème des fonctions implicites, à des problèmes d'optimisation sous contraintes.

La quatrième porte sur le calcul différentiel et intégral des fonctions complexes d'une variable complexe. L'on présente tout d'abord les propriétés des nombres complexes et l'extension aux variables complexes des fonctions élémentaires d'une variable réelle. On développe ensuite le calcul différentiel et intégral complexe de ces fonctions et on étudie les propriétés supplémentaires qui en découlent. Quelques applications aux séries et aux intégrales de Fourier sont enfin exposées.