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Here is the list of plenary talks that will be given during the conference.
Discretizing Solutions vs. Discretizing Operators: Some Thoughts on the
Numerical Analysis of PDEs
The linear advection equation possesses one of the simplest solution of any PDE, yet its numerical solution is very challenging. Interestingly, most numerical approaches ignore the structure of the solution and focus on discretizing the operator instead. I will try to compare and contrast the two points of view and provide some useful insight to devise methods to solve more complicated problems. One such problem is Poisson's equation with internal jumps. This equation arises in the computation of fluid flows with multiple components (e.g., water and air). I will illustrate the various key points by presenting numerical solutions of fluid systems including drops, bubbles, and soap films. Order and chaos
Consider these curiosities: If you shuffle a deck of 52 cards 8 times, each shuffle perfectly interleaving the two half-decks, the cards will return to their starting position. But if you include the 2 jokers, so making a deck of 54 cards, it takes 52 perfect shuffles. Chaos in mathematics refers to a situation like this where a small change in the input produces a large change in the output. Here is another: The repeating period for the decimal expansion of 1/89 is 44, but for 1/91 it is 6. For 1/109 it is 108, and for 1/111 it is 3. We will see that these two chaotic functions, the number of perfect shuffles and the decimal repeating period, are connected to the ``order-of-an-element" function in group theory. It is perhaps ironic that chaos arises when considering order, but we shall see that this very chaos has an important application. Les séries divergentes
Les séries divergentes ont été abondamment utilisées avec succès il y a quelques siècles par de grands mathématiciens comme Lacroix, Fourier, Euler, Laplace, etc. Leur utilisation conduisait à des résultats vérifiables expérimentalement. Pourtant, on les a bannies des mathématiques pendant la première moitié du 19e siècle. Elles sont revenues en mathématiques au 20e siècle, par la petite porte, même si on peut maintenant justifier rigoureusement leur utilisation. La conférence présentera la méthode de Borel pour calculer la somme d?une série divergente et ses applications. Mais surtout on discutera pourquoi la résolution de certains types de problèmes conduit à des séries divergentes. The power of hyperbolic structures on link complements
Geometric structures provide a powerful tool for studying knots and links in the 3-sphere. Of particular importance are hyperbolic structures, which apply to almost all knots in the tables. In this talk some of the benefits of hyperbolic structures are outlined, and a method is described for calculating the hyperbolic structure on a link complement using complex number "labels" attached to the link diagram. Here is the list of student conferences
Imagerie numérique et calcul fonctionnel holomorphe
Beaucoup des progrès dans la théorie d'opérateurs ont été obtenus en utilisant les images numériques. Dans cet exposé, on va définir la notion de l'image numérique. On montre des propriétés importantes comme la convexité et l'inclusion spectrale. Une application importante de l'image numérique en utilisant le théorème de dilatation a élargi le calcul fonctionnel aux opérateurs bornés non-normaux. Construction d'une sphère exotique / Building an exotic sphere
Je vais munir la 7-sphère d'une structure lisse "différente" de la structure habituelle et expliquer presque tous les mots qui constituent cette phrase! / I will endow the 7-sphere with a smooth structure different from the usual one and explain what this all means. Introduction to Kähler Ricci flow
In the Ricci flow, we consider a metric on a manifold "flowing" in time reacting to its Ricci curvature, similar to the way temperature flows according to the heat equation. In three dimensions, the structure of the Ricci curvature is particularly nice, which allowed Perelman to use the Ricci flow to solve the Poincaré conjecture. In higher dimensions, things are generally not as nice. However, in the setting of complex geometry, Kähler manifolds behave well under the Ricci flow. I will introduce Kähler geometry and Ricci flow, and describe how they cooperate. Matériaux en grandes déformations
L'utilisation de la méthode des éléments finis est très répandue en mécanique des solides en grandes déformations. Comme exemple, on peut citer le calcul de déformations de pneus. Dans ce cas et dans plusieurs autres, le besoin d'avoir un bon modèle et de vérifier que celui-ci produit les résultats attendus devient essentiel à la sécurité. Les méthodes Lagrangiennes sont parmies celles les plus utilisées en pratique pour résoudre des problèmes en grandes déformations. Au cours de cet exposé, plusieurs concepts nécessaires à l'élaboration des formulations variationnelles seront introduits. On discutera en particulier de la formulation Lagrangienne actualisée qui a été implémentée tout récemment dans le logiciel d'éléments finis MEF++ du GIREF. Modèle de Jordan pour les opérateurs de classe C_0
Résumé: L'existence de la forme de Jordan d'une matrice est sans contredit un résultat central de l'algèbre linéaire. Peut-on le généraliser au cas d'un opérateur linéaire borné sur un espace de Hilbert de dimension arbitraire? On verra que pour une certaine classe d'opérateurs, la réponse est oui. Il s'agit du théorème de classification de Bercovici, Foias et Sz.-Nagy. On présentera également une application de ce théorème au problème des sous-espaces invariants. Penalization of the ideal contact problem: Uniform convergence of the penalized solution
Il s'agira a travers cet expose dans un premier temps de montrer comment, par le biais de la penalisation, peut on passer d'un probleme sous contraint a un probleme libre, ou il sera question entre autre de s'interesser aux avantages d'un tel procede c'est a dire en quoi il est utile de penaliser un probleme. Dans un second temps on va s'atteler a l'etude de la convergence de la solution du probleme penalise vers celle du probleme de contact ideal. Ce qui donne la methode de penalisation toute son importance. Le Thm. de Darboux selon V.I. Arnold
La géométrie riemannienne possède un invariant local : la courbure. La géométrie symplectique possède-t-elle un invariant local ? Le Théorème de Darboux vient dire que non. Sujets en théorie des nombres
La théorie des formes quadratiques binaires (FQB), au départ développée et publiée par Louis-Joseph Lagrange (1736-1813) dans son recueil "Recherches d'Arithmétique", permet de prouver de façon générale une multitude de propositions énoncées par Fermat au sujet de la représentation des nombres premiers par des combinaisons linéaires de carrés. Nous introduirons les bases de la théorie et les principaux résultats qui nous permettront de classer les FBQ en différentes catégories. Nous définirons alors le symbole de Legendre qui nous permettra d'écrire les propositions de Fermat sous une forme simple et générale. Enfin, nous verrons que le théorème des deux carrés de Fermat est un cas spécifique d'un résultat plus général que nous prouverons. Tout au long de la présentation, différents algorithmes seront présentés pour confirmer les résultats pour les nombres premiers inférieurs à n=100 000. Cohomologie simplicielle d'une algèbre semi-treillis
Dans l'article Simplicial cohomology of Band semigroup algebras, les auteurs, Y. Choi et al., montrent que la cohomologie simplicielle de l1(S) est nulle, où S est un semi-groupe bande. Pour le faire, les auteurs déterminent la cohomologie cyclique de l1(S). Avec le lemme de Connes-Tzygan, ils déduisent le résultat pour la cohomologie simplicielle. On va voir que pour le cas particulier, S est un semi-treillis, on peut montrer que la cohomologie simplicielle est nulle sans passer par la cohomologie cyclique. Lagrangien augmenté
Un des principaux sujets des mathématiciens appliqués consiste à minimiser une fonctionnelle (d'énergie ou de coût) tout en respectant certaines contraintes. Le problème peut s'approcher au moyen des multiplicateurs de Lagrange. Il peut aussi se simplifier en autorisant le non-respect de la contrainte, mais en associant un coût au manquement. La méthode du Lagrangien augmenté combine ces deux approches pour en tirer les avantages ou les inconvénients, selon le doigté de l'artisan. La contrôlabilité et l'observabilité de l'équation des ondes de Dirichlet
Cet exposé sera composé de deux parties. Dans la première, nous établirons les bases de la contrôlabilité et de l'observabilité de systèmes généraux. Par la suite, nous étudierons le lien existant entre la contrôlabilité et l'observabilité de systèmes évolutifs de la forme z''(t)=Az(t) au travers de l'exemple de l'équation des ondes aux conditions limites de Dirichlet. Nous verrons que, dans ce cas particulier, l'équivalence de ces deux notions passera par la méthode des multiplicateurs. Perfect Powers Modulo p
On this thesis I looked at perfect powers (an integer a is said to be a perfect power if there exist integers x and n, with n positive, such that a is x to the n-th power) as rational solutions to the equation x^n-a=0. Then I reduced the equation modulo p for every prime and I proved that the existence of solutions to this equation for all but finitely many prime numbers p yielded a solution to the equation in rational numbers (and hence in the integers) when n was not divisible by 8. In the latter case, we found counterexamples, even when the reduced equation had solutions for every prime p. Solving integral polynomial mod p.
Let $p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ be integral polynomial. We are interested to see when this polynomial have a solution module a prime number $p$. This question is very natural, at least for number theorist. For example we would like to know when $x^2+1$ has a solution. This example tells us for 50 half of prime this equation dose not have solution mod $p$. So it is quite natural to extend this observation to other polynomial. In this lecture I will discuses this question and we see how to relate this problem to the Galois group. Descritpion of reflection-generated polytopes using decorated Coxeter
diagrams
I will present a method of describing polytopes generated by reflections of a single point in an Euclidean space $R^n$ and give some examples in dimension 3 and 4. Comptons les gominos!
Un polyomino est une figure géométrique formée d'un ensemble fini et connexe de tuiles carrées sur le plan entier. On s'intéresse à savoir, selon un périmètre donné, combien il existe de polyominos et surtout, à les générer efficacement. Par exemple, le problème d'énumérer tous les polyominos d'une aire ou d'un périmètre donné a depuis longtemps été attaqué et quelques bons algorithmes existent déjà pour y répondre. On propose un algorithme pour répondre à la question analogue dans le cas où le paramètre est le périmètre de site, c'est-à-dire, essentiellement, le nombre de pierres du jeu Go qu'il est nécessaire d'utiliser pour encercler un polyomino. L'algorithme consiste à générer exhaustivement tous les individus d'un type d'objets en bijection avec les polyominos, les gominos, via un jeu à deux joueurs qui se trouve à être un cas particulier du jeu Go. The talk will be given in French with English slides, so that everyone can play! Classification des orbites nilpotentes
On s'intéressera aux matrices nilpotentes et en particulier à leur classe de conjugaison. Il existe une façon simple et efficace de classifier ces classes de conjugaison à l'aide de la forme canonique de Jordan. Alternativement, on peut utiliser une approche appelée la classification de Dynkin-Kostant. Cette méthode est moins simple et moins efficace mais elle présente certains avantages. Dans cet exposé, je discuterai de ces avantages. Euler, Riemann, Chebyshev et la théorie des nombres.
Nous allons étudier la genèse de la fonction zêta de Riemann, qui remonte aux travaux d'Euler. Nous verrons en quoi chacun des trois mathématiciens du titre ont été révolutionnaires pour la théorie des nombres. L'étude des nombres premiers sera notre sujet principal. Nous parlerons aussi de l'hypothèse de Riemann. Équations supersymétriques et super-solitons
Une supersymétrie est une symétrie unifiant les particules de spin demi-entier (fermions) et les particules de spin entier (bosons). Mathématiquement parlant, j'introduirai le concept de superespace et construirai des versions supersymétriques de certaines équations de la physique possédant des solutions solitoniques. |
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