MAT 3661


Théorie de Galois


Hiver 2011

Professeure:    Matilde Lalín

Échéancier:    Lundi 14:30 - 15:30 Pav. C-Mcnicoll Z300 et Mercredi 9:30 - 11:30 A. Aisendstadt 1411

Disponsibilité:   Lundi 13:30-14:30, Vendredi 11:30-12:30 A. Aisendstadt 5145

Tel:   (514) 343-6689

couriel:    mlalin at dms . umontreal . ca

Références:    "Algèbre" Chap. 5 et 6, Serge Lang, 3ème édition révisée, Dunod, Paris, 2004

"Algebra" Chap. 13 et 14, David Dummit et Richard Foote, 3rd edition, Willey and Sons, 2004


Information:



Devoir:



Avis importants:

  • le 20 avril: Solutions au examen final. J'ai fini de le corriger. Si vous désirez savoir votre note, envoyez-moi un courriel.
  • le 23 février: J'ai fini de corriger l'examen qui a était assez difficile. Je vous retournerai l'examen le 7 mars. Vous aurez une semaine pour re-écrire les problèmes où vous avez perdu des points (activité facultative). Vous me remettrez les problèmes avec l'examen originel le 14 mars. Pour chaque problème que vous écrivez complètement, vous recevrez le tiers des points que vous manque sur ce problème dans l'examen. Par exemple: si vous avez obtenu 2 points sur le problème 3 dans l'examen, c'est-a-dire que vous y avez perdu 3 points. Alors, si vous remettez ce problème complete le 14 mars, vous allez recevoir 1 point de plus sur ce problème. Si vous désirez savoir votre note avant le 7 de mars, envoyez-moi un courriel.
  • le 14 février: Les sujets pour l'examen du 23 février sont tous dont on a discuté en classe, jusqu'a la fin du chapitre 13 de Dummit-Foote. Il ne faut pas savoir les details des démonstrations de la fonction de Möebius ou la fonction Phi d'Euler, mais il faut savoir comme calculer Phi. Il faut savoir les résultats des anneaux et polynômes dont on a parlé au début du cours.
  • le 8 février: Je viens de placer "le non-devoir 3", un ensemble de problèmes que vous n'avez pas besoin de me remettre, mais qui seront utiles pour vous, pour étudier les derniers sujets du chapitre 13.
  • Barème: Devoir (20%), Examen intra (30%), Examen final (50%)


Dates importantes:
  • Devoir: le 24 janvier, le 7 février, le 21 mars, le 4 avril (en classe).
  • Examen intra: le 23 février, 9:30 - 11:30.
  • Examen final: le 20 avril, 8:30 - 11:30.


Thèmes:

  • le 4 avril: Extensions cycliques et son caractérisation avec la résolvente de Lagrange, extensions résolubles par radicales, on peut toujours met une extension résoluble par radicales dans une extension résoluble par radicales Galoisienne dont la tour est donnée par extensions cycliques
  • le 30 mars: Évaluation de l'enseignement, comme caracteriser le groupe de Galois del polynômes de degré 4 en utilisant le discriminant et autres choses, Théorème fondamental de l'algébre, introduction aux extensions radicales et résolubles.
  • le 28 mars: Fonctions symétriques, Discriminant, comme caracteriser le groupe de Galois des polynômes de degré 2,3 en utilisant le discriminant (et presque-sans trouver les racines).
  • le 23 mars: énoncé du Théoreme de Kronecker Weber. Introduction au groupe de Galois d'un polynôme. Rappel du groupe symétrique et ses propriétés, incluant le groupe alterné. Le polynôme général en n indeterminées et son groupe de Galois. Fonctions symétriques élémentaires. Théorème de Cayley (tout groupe fini est sous-groupe du groupe symétrique). Rappel de extensions de Galois sur corps finis
  • le 21 mars: Structure du groupe de Galois d'une extension cyclotomique en fonctions des nombres premier qui divisent n, extensions abeliennes et quelques mots à propos du Problème Inverse de Galois.
  • le 16 mars: toute extension de degré 2 est Galoisienne, plus d'extensions composées, clôture Galoisienne, extensions simples (théoreme du élément primitif), Groupe de Galois d'une extension cyclotomique
  • le jour de Pi: Preuve du TFTG, extensions composées
  • le 9 mars: |G|=[K:K^G], et consequences: Les extensions Galoisiennes sont corps de décompositions de polynômes séparables, K/F Galoisienne ssi F=K^G, definition d'extension normale, conjugués par Galois. Enonce precis du Théoreme fondamental de la théorie de Galois.
  • le 7 mars: Plus d'exemples inclusant l'automorphisme de Frobenius. Caractères, independance linéaire.
  • les 28 février, 2 mars, zzzzz
  • le 23 février: examen intra, bonne chance!!!
  • le 21 février: Q(√2,i) et Q(³√2,ξ_3), ses automorphismes, les sous-groupes d'automorphismes et la relation avec les sous-extensions
  • le 16 février: Introduction à la théorie de Galois, automorphismes et le groupe des F-automorphismes, l'ensemble des éléments invariants par un sous-groupe de Aut(K/F), relation entre le nombre des F-automorphisms et [K:F], extensions Galoisiennes, exemples: C/R, Q(³√2) (non Galoisienne), Q(ξ_8)
  • le 14 février: somme de la fonction de Möbius dans les diviseurs d'un nombre (on a commencé ca en 9 février), inversion de Möbius, application sur phi et sur les polynomes irréductibles sur un corps fini. Preuve que le polynôme cyclotomique est irréductible.
  • le 9 février: corps parfaits, corps finis, degrés de séparabilité et d'inséparabilité extensions séparables et inséparables, polynômes cyclotomiques (preuve qu'ils ont les coefficientes entiers), introduction à la fonction phi d'Euler et la fonction de Möebius. Comme calculer la fonction phi.
  • le 7 février: existense de la clôture algébrique, enoncé du Théorème Fondamentale de l'algèbre, séparabilité d'un polynôme, derivée
  • le 2 février: unicité du corps de décomposition, introduction aux idées de corps cyclotomique comme corps de décomposition de x^n-1, et la idée de clôture algébrique et algébriquement clos. Existence d'une extension algébriquement clos.
  • le 31 janvier: imposibilité de la trisection de l'angle, corps de décomposition
  • le 26 janvier: extension de type fini (continuation), extension composée, construction à la règle et au compas
  • le 24 janvier: Degré dans une tour d'extensions, extensions de type fini
  • le 19 janvier: Extension engéndrée pas des elements sur F, extension simple, isomorphisme des extensions obtenues en ajoutant racines differents du même polynôme irréductible, extensions algébriques, polynôme minimal, extensions finies
  • le 17 janvier: Sous-corps premier. Degré d'une extension. Contruction d'une extension avec la racine d'une polynôme irréductible. Base de cette extension comme espace vectoriel sur le corps originel.
  • le 12 janvier: Les idéaux d'un corps, anneaux de polynômes, et proprietés (euclidien, factoriel, principal). Critères d'irréducibilité de polynômes (lemme de la racine, Eisenstein, et reduction modulo n). Caractéristique d'un corps.
  • le 10 janvier: Rappel d'idéaux (premiers maximaux, principaux), anneaux quotients, premier théorème d'isomorphisme pour anneaux.
  • le 5 janvier: Bienvenus à la classe! La théorie de Galois, de quoi s'agit-elle? Deux applications: la résolution d'équations algébriques et les constructions à la règle et au compas (introduction non détaillée). Rappel d'anneau, corps et morphismes de corps.


Ouvrages complémentaires:




Dernière mise à jour: le 22 mars 2011 (ou plus tard)